旋转之后相同的算一种 匡世珉，初恋是数学，至今感情好 这道题答案是10。 其实仅仅是得到这个答案并不难，用穷举即可。但是，如果情况再复杂一点，穷举就不是那么方便了，所以我们需要更好的办法……幸运的是，数学家们已经找到了。 在介绍更好的方法之前，我先来说一下怎么穷举。 把六个面按照颜色的数量分为四组： 6 - 0：全黑，或者全白。共2种情况。 5 - 1：一白五黑，或者一黑五白。共2种情况。 4 - 2：两白四黑（白色可相邻或相对），或者两黑四白（黑色可相邻或相对）。共4种情况。 3 - 3：三白三黑（同色有公共角或同色有相对面）。共2种情况。 总共有 2 + 2 + 4 + 2 = 10 种不同的情况。如果只是想得到答案，那么就可以到此为止了。 那有什么更好的方法吗？有的，我们可以用Burnside定理： 若G为集合S的置换群，则G所产生的等价关系把S划分为若干等价类，其数量为： 其中 是置换π下不变元素的数量。 说人话！ 好的，我来慢慢解释。 S：这是由一个物体所有可能出现的情况组成的集合。比如，如果我们要给一个立方体涂上四种颜色（每个面只用一种颜色），那么集合S将会有 个元素。 置换：这是改变一个物体的方向但保持其结构的动作。对于一个立方体来说，置换就是把它拿起来再放回原位。放回原位时，任何一个面都可能朝下，而每个特定的底面，又有四种可能的方向，所以一个立方体有24种置换。注意，置换是一个动作，而不是动作的结果。 置换群：这是一个物体所有置换组成的集合。这个集合构成群，因为一个物体置换两次产生的效果可以看成其一次置换产生的效果。比如，把一个立方体拿起来，转一转，放回去，再拿起来，转一转，放回去，得到了一个新的摆放状态。而我也可以把之前的立方体拿起来，直接转到该摆放状态然后放回去。|G|的意思是G中元素的个数。 等价关系：这决定了两种情况是否相同。简单地说，“一个置换群产生的等价关系”意味着当置换群中的某个置换把一种情况变换成另一种情况，那么这两种情况相同。再简单一点就是“旋转与翻折之后相同也算同一种”。 等价类：这是“旋转与翻折之后相同也算同一种”时，所有相同情况的集合。所以，这种类型的题目要我们求的其实是等价类的数量。 不变元素：这是指任何在某一置换前后完全相同的物体。比如，下图中第一个方块在旋转0°、90°、180°与270°时是不变的，第二个方块在旋转0°与180°时是不变的，第三个方块只有在旋转0°（即置换群里的单位元）时是不变的。 最后一个概念是之前没出现过的：基对象。这个很好理解：当我们在立方体上涂色时，基对象就是立方体。 好的，现在让我们来看看到底Burnside定理说的是什么。 对于基对象p，旋转与翻折之后相同也算同一种时，不同的情况的数量为： 其中 G = {} 是 p 的所有置换的集合， 是置换π下不变元素的数量。 这样一来是不是好懂了许多？ 是……吗？ 快说“是”！【抽一鞭子 是！ 接下来，让我们试着用Burnside定理来解这道题： 本题中，基对象是立方体，G则是由24个置换组成的集合，所以n=24。 具体地，我们可以把G中的置换分为5组： 其中： I：单位元，即不变的置换。共1个置换。 Q：面旋转90°。三组相对的面，每组顺时针或逆时针。共6个置换。 H：面旋转180°。三组相对的面。共3个置换。 D：体对角线旋转120°。四条体对角线，每条顺时针或逆时针。共8个置换。 E：对边旋转180°。六组对边。共6个置换。 对于I来说，有 个不变元素，因为无论怎么涂色，“不变置换”前后都一样。 对于Q中的每一个置换来说，顶面与底面颜色任意，因为它们在旋转前后位置不变；而四个侧面的颜色必须一样，才能保证旋转90°前后完全一样。所以有个不变元素。 对于H中的每一个置换来说，顶面与底面颜色任意，相对的侧面颜色必须一样。所以有个不变元素。 对于D中的每一个置换来说，交于体对角线上的三个面颜色必须一样。所以有个不变元素。 对于E中的每一个置换来说，交于所选边的两个面颜色必须一样，共两组，剩下的两个相对的面颜色必须一样。所以有个不变元素。 于是： 算出答案为 10 种不同的情况。 呼，对于这个问题来说，这个解法真是够烦的。 但是如果不是涂上两种颜色，而是k种颜色呢？ 只需要把所有的2改为k： 这时，Burnside定理就很有帮助了。 好了，这道题就说到这里。 如果想看Burnside定理的其他例题，可以看The Burnside Di-Lemma这篇论文，这也是这篇回答的参考资料。 想了解更多还可以看Polya's Counting Theory这篇论文，非常有趣。 那么就这样=w= 查看知乎原文
