契约精神与坑生不坑熟 金超 大部分受过大学教育的人都了解契约精神的好处。一般来说，把时间用于监视和督促他人履行承诺劳心费力，而把这些时间用于工作、学习或休闲，能得到或短期或长期的好处。大家也都知道，单方面的守信至少在经济上不合算。考虑下面的单期博弈 不难发现，（守信，守信）和（不守信，不守信）都是纯策略纳什均衡。 如果一个序贯博弈的每一阶段都是如上的博弈，那么可以定义一个“冷酷策略”和相应的“临界耐心水平”，使得大家一直守信——处于一个更好的均衡上。 下面我想利用这个博弈说明“坑生不坑熟”的风气是如何形成的。简单起见，假定任何个体都与熟人进行序贯博弈，而与生人进行单次博弈。社会总人口足够多，以至于一个人的熟人圈子规模与社会总人口相比无限趋近于零。下面假定社会中存如下在三种人： 谁都坑（黑色人），比例为 a 谁都不坑（白色人），比例为 b 坑生不坑熟（灰色人），比例为 1-a-b 进一步做如下假设： 每个人一生与熟人进行 x 次博弈，与生人进行 y 次博弈 生人、熟人中三类人的比例与社会比例相同 每个人对熟人有完全信息，对生人完全没有信息 折现率为 1 假设现在出现了一个聪明一些的人，他会根据熟人的类型选择自己的策略，而面对生人时，他总选择同一个纯策略——坑或不坑。那么他面对熟人时的选择是： 面对黑色熟人，坑对方，得到支付 3ax 面对灰色或白色熟人，不坑对方，得到支付 10x（1-a） 面对生人时，他的支付为 总是选择坑对方，支付为 3(a+b)y+8y（1-a-b）=8y-5(a+b)y 总是选择不坑对方，支付为 -(a+b)y+10y（1-a-b）=10y-11(a+b)y 这个聪明些的人选择“永远坑生人”的条件是 2y-6(a+b)y<0，即 a+b>1/3 假如 a+b>1/3，且这个人更聪明一些，他可以选择与哪些人成为熟人。容易发现，他会选择与灰色人、白色人成为熟人。这样他一生的总支付就变成了 10x+8y-5(a+b)y。 同时，这个人成为了一个灰色人，当然他是一个“聪明的灰色人”。他与普通灰色人的区别在于，他不会与黑色人成为熟人。 下面我要做一个可能不太合适的假设：“聪明的灰色人”只能由灰色人转变而来。这个假设的好处是，对于黑色人来说，熟人的结构改变了，但对于白色人来说，熟人的结构没有改变。 假设有比例为 s 的灰色人变成了“聪明的灰色人”，那么对于黑色人，熟人结构变成了： 黑色：a/(a+(1-s)b+1-a-b)=a/(1-sb) 灰色：(1-s)b/(a+(1-s)b+1-a-b)=(b-sb)/(1-sb) 白色：(1-a-b)/(a+(1-s)b+1-a-b)=(1-a-b)/(1-sb) 那么黑色人在熟人身上取得的支付为： 黑色：3ax/(1-sb) 灰色：8(b-sb)/(1-sb) 白色：8(1-a-b)/(1-sb) 黑色人在熟人身上取得的总支付为：(3ax+8x(1-a-sb))/1-sb=8x-5ax/(1-sb) 而黑色人在生人身上取得的总支付不变：3ay+8y(1-a)=8y-5ay。所以这时，聪明的灰色人越多，黑色人在熟人身上取得的总支付越少。如果所有灰色人都转换为聪明的灰色人，那么黑色人在熟人身上取得的总支付为：(3ax+8x(1-a-b))/1-b=8x-5ax/(1-b) 这样一来，黑色人一生取得的总支付为：8(x+y)-5a(y+x/(1-b)) 假设所有的灰色人都变聪明后，黑色人也开始变聪明：他们可以在 x+y 固定的前提下，选择 x 和 y 的值。这样一来，我们知道，黑色人的最优选择是 x=0。促成这一选择的原因是来自“聪明的灰色人”的惩罚——把黑色人踢出自己的熟人圈子。惩罚系数为 1/(1-b)。 现在假设有 w 比例的黑色人变聪明了，那么不聪明的黑色人在熟人身上的收益分别为： 黑色：3(1-w)ax/(1-b-wa) 白色：8(1-b-a)x/(1-b-wa) 那么不聪明的黑色人在熟人身上的总收益为：3(1-w)ax/(1-b-wa)+8(1-b-a)x/(1-b-wa)=8x-5(1-w)ax/(1-b-wa) 所以，不聪明的黑色人从社会中取得的总支付为：8x-5(1-w)ax/(1-b-wa)+8y-5ay=8(x+y)-5a((1-w)x/(1-b-wa)+y)=8(x+y)-5a[(1-w)x+(1-b-wa)y]/(1-b-wa) 这时，若(1-w)x/(1-b-wa)>y，那么对于聪明的黑色人来说，维持 x=0 的选择是正确的。反之，则聪明的黑色人会改变选择。下面我们来看看(1-w)x/(1-b-wa)与 w 之间的关系：它对 w 的一阶偏导数为：[(-x)(1-b-wa)-(-a)(1-w)x]/(1-b-wa)^2=(a+b-1)x/(1-b-wa)^2=<0 这个结果非常不好。因为(1-w)x/(1-b-wa)是单调的，所以即使我们能求出一个临界值 w，它所代表的均衡也是不稳定的。这是因为如果与熟人博弈时，黑色人比例越低，黑色人的总收益也越高，在其次均收益超过了坑生人时，聪明的黑色人会选择多与熟人博弈，但这又会反过来拉低熟人博弈的收益，如是往复。 假如我们对白色人也施加同样的假设：白色人也可以在 x+y 给定的前提下选择 x 和 y 的值，那么白色人与熟人博弈的收益为： 黑色：-ax 白色：10(1-a-b)x 灰色：10bx 总收益为 10x-11ax 其与生人博弈的收益分别为 黑色：-ay 白色：10(1-a-b)y 灰色：-by 总收益为 10y-11(a+b)y 易知这时最优的 y=0，而且白色人有激励去“变聪明”。 而这时无论黑色人是否聪明，其遇到的生人都只会干一件事：坑你。这时无论是聪明还是不聪明的黑色人都会只跟熟人博弈。而由于所有的灰色人都变聪明了，黑色人的熟人中也不会出现灰色人，只会有黑色人和白色人。这时黑色人与熟人博弈的收益为 黑色：3a(x+y)/(1-b) 白色：8(1-b-a)(x+y)/(1-b) 黑色人从社会获得的总收益为：8(x+y)-5a(x+y)/(1-b)=10 而白色人与熟人博弈的收益为： 黑色：-a(x+y)/(1-b) 白色：10(1-b-a)(x+y)/(1-b) 白色人从社会获得的总收益为：10(x+y)-11a(x+y)(1-b) 这个变化发生后，灰色人的收益也改变了。因为他们在社会上只会遇到灰色人。但是我们暂时还没有假设他们能改变 x 和 y，所以他们目前的收益是： 与熟人：10x 与生人：3y 总收益为 10x+3y=10(x+y)-7x 现在我们终于可以做一些好玩的事情了：在三类人的支付上都消去 10(x+y)后乘以 -1，我们得到三类人的“颜色惩罚”： 黑色人：(x+y)[2+5a/(1-b)] 白色人：(x+y)[11a/(1-b)] 灰色人：7x 容易知道，谁的“颜色惩罚”比较大，谁在社会中就混得越惨。 先比较黑色人和白色人：若 2>6a/(1-b)，那么黑色人比较惨，反之则白色人惨。意思就是黑色人越少，黑色人越惨；灰色人越少，黑色人越惨。 然后比较黑色人和灰色人。用黑色人的惩罚除以灰色人的惩罚，得到： [2/7+5a/7(1-b)](1+y/x) 好玩的事情发生了：生人越多，黑色人越惨；黑色人越多，黑色人越惨；灰色人越多，黑色人还是越惨。 最后比较灰色人和白色人，白色人的惩罚除以灰色人的惩罚，得到： [11a/7(1-b)](1+y/x) 白色人的境况和黑色人完全一样。这意味着 人口流动性越大的地方，灰色人的优势越明显 坏人（黑 + 灰）越多的地方，越需要合作，即使是和坏人合作 如果坏人特别多，他们之间的内耗会使得好人反而取得生存优势，尽管好人会被坑，但他们遇到好人后的正收益足够弥补 这些结论可以用来为下面的事实提供直觉： 火车站、长途汽车站骗子多 黑手党成员的义气与忠诚 再乌烟瘴气的地方也有好人 但是上面的分析没有直接给出把欺诈社会转化为诚信社会的方法。不过容易想到一个直观的方法：降低不守信的支付。那么如何降低呢？在人口足够多时，依靠严刑峻法。在人口少，或者干脆是一个小圈子时，也可以由“信誉”来替代立法执法。用“信誉”代替立法执法的一个例子是金融行业。各国的金融行业都经历过野蛮生长期。随着个人和机构信誉的逐渐建立，违约率高的个人和机构业务越来越少，这些机构的运营成本也越来越高。 但这并不意味着靠市场自发纠正违约行为就是最优作法。调整和建立信誉需要时间，各色人等“学聪明”也非一日之功。以“违约行为会被自发纠正”为由，无视自发纠正过程越长，社会中累积的福利损失就越多这一事实的论述，采信的价值不高。 ——————————————— 发自知乎专栏「经济学与金融学杂货铺」
