一点小小想法——从石上纯也的桌子说起，谈谈自己的局限性 2333Raindragon，如有不周还请见谅，如有错误还请斧正 作为标题图片的桌子是石上纯也 / 小西泰孝设计制作的一张轻薄如纸的桌子，在大四毕业的时候，几个关系很好的建筑系的朋友，给我看了这张图片——70 后日本年轻的建筑师石上纯也设计了一款桌子，桌面是几毫米薄的铝板，跨度近十米。如果看这篇搬砖日记的朋友没听说过这张桌子，我诚挚的邀请您移步下面的相册里面好好欣赏一下，真的很赞 一村的相册 - 石上纯也 / 小西泰孝 纸一般薄的桌子 想看更多图片可以去这个相册看看 像鸟儿那样轻 这是同一个 PO 主写的文章，里面有建筑师角度的介绍与理解，我想从自己的角度说说关注这个桌子之后自己获得的一点小小感想。 这个桌子让我第一次自己主动走出了课本知识形成的樊篱，虽然最终也还是走在人类已有知识的范畴之内，没做到在“圆的边界造成一个凹陷”，但是第一次让自己清清楚楚的认识到了自己的局限性。 几乎和每一个初见这张桌子的人一样，我，也被那种轻薄的感觉所震撼，转念就开始想这个桌子是怎么做出来的？随手抽出一张 A4 纸，那也就是轻飘飘的，软柔柔的，随你玩弄怎么变形。拿起它的一端，另一端悬空，连让它保持水平的展开不垂下都是不可能的。 ↑图 1 （Peter Callesen 纸雕作品） 这样一张像纸一样的桌子是如何保持其水平的，有什么技巧在里面呢？看了豆瓣上一村先生的相册里面的说明，就能明白，说起来都是很简单的——反拱，两个字就解决了。【反拱】，你知道它会往下垂，那就先反过来弯一下，让它有一个朝上的变形，以此抵消在重力作用下的变形 ↑图 2： 重力作用下，板向下挠曲 ↑图 3： 反拱的变形量与板向下挠曲互相抵消 这就是反拱，让薄板一开始有着相反的变形，在发生变形之后自然就是平的了。问题是我怎么知道这张薄板会向下变形多少呢？只有算咯～ ↑图 4 我的计算结果 ↑图 5 小西与石上的计算结果 ↑图 6 小西与石上试验结果 经历诸多思考，最后算出来和相册中很接近相册里面的加工形状了，数值还是有点不同。差异我想主要来自两个方面，第一是活荷载的取值不同（假定桌面的荷载有所不同），第二是石上纯也和小西泰孝可能是出于加工方便的考虑最终将曲线做成了几段相切的圆弧。这条曲线比上面示意图里面的变形大太多太多了，真的难以想象，但是它是真的 所以，我们的目标是——没有蛀牙～～啊，不，我们的目标是 『求出在重力作用下这张薄板的挠曲线，然后加工后让它具有这样的形状』 这么一说好像很简单了，下面要做的就是确定这个反拱的曲线是怎么样的了，这还不简单，材料力学结构力学教过，分分钟给你算出来，精确到每一个点，给你带解析解的。 第一步，把问题力学模型化，获得我们需要的参数 【为了寻找形式的极限就必须抵达跨度的极限，首先是桌面材料必须足够的轻，相对钢材而言，铝材的重量轻而且强度高，但是由于时间和经费的限制，市场上最长只能找到 8 米长幅面的薄铝板，小西泰孝想 8 米长的桌子也行吧，但石上纯也不肯，觉得 8 米和 10 米效果差很远，一定要 10 米长。最后小西泰孝想出了一个节点，就是在离桌面两端 1 米的反弯点处的构造铰接做法，桌端 1 米长的钢板桌面和桌腿则以无缝焊接的方式刚性连接。】 以上文字引用自一村的《像鸟儿那样轻》，我把关注点放在那张 8m 跨度的铝板上，两端铰接的铝板，信息 Get～ ↑图 7 结构计算简图图 引用自一村的相册 - 石上纯也 / 小西泰孝 纸一般薄的桌子里面的截图，右侧铝板厚度 6mm，材料 A6061 T6 铝，信息 Get～ ↑图 8 节点材料结构详图 6061 aluminium alloy——Wikipedia 上的材料属性 两端简支的板也就是根简支梁，取 1m 宽度好了，方便计算，下面罗列一下已知条件 ↑图 9 计算参数列表截图 不过是一根简支梁而已，不过是一根简支梁而已，我一开始就是这么想的，然而现实开始打脸了。 ↑图 10 均布荷载弯矩图 简支梁均布荷载，跨中弯矩 ql^2/8，这个结论对于诸位砖工简直不能更熟悉，跨中挠度 5ql^4384EI，也是滚瓜烂熟的数据了，打脸的就是它 桥豆麻袋～～～～7069.88mm，一张板不过 8000mm，就算弯了对折过来也才 4000mm 的挠度，7069.88mm 怎么弯得出来呢？一定有什么地方出错了！ 为了找到这个错误，我把压箱底的材料力学结构力学都拉了出来仔细翻了一遍，终于发现问题所在了。我之前所学的所有力学在考虑弯曲问题的时候，都假定一根梁弯曲是不产生轴向变形的，可能要通过题目算很难讲清楚，但是通过结构力学里面『矩阵位移法』当中出现的梁的单元刚度矩阵可以一目了然 转角位移以及垂直杆的的位移可以引起弯矩、剪力，但是不产生轴力，单元刚度矩阵如是说～也就是说我们认为弯曲时候没有轴向变形。 这一假定，在弯曲变形很小时完全可以成立，但是当变形增大就不能忽略了。生活经验告诉我们，如果是一张纸，弯曲的时候纸的的两端会互相靠近，也就是发生了轴向的变形，就下图一样。 ↑图 11 实际变形分析 如果不依赖经验，通过我们的理论分析呢？材料力学对于杆的弯曲采用了平截面假定，其中有一个结论是截面上存在正应力为零的一条线，即中性轴，中性轴连成的平面——中性面，从侧面看就是一条线，我们把它叫做 s 轴，s 轴在梁内部分的长度是不变的。那么，当一根梁从直的变成弯的（气氛有点不对,大概是同基大学待久了），s 轴如果保持长度不变的话，在固定坐标系下，x 向跨越的长度应该是变短了。 ↑图 12 s 轴和 x 轴的对比说明 但是我们的分析都忽略了这一点，因为杆系力学里面的小变形假定 ·杆——是一种力学模型，在这个模型里面，构件几何尺寸，一个方向的尺度远大于另两个方向，而另两个方向尺度相当。想想我们的梁柱，bxhxl，b、h 和 l 基本都是差一个数量级的。 ·小变形——变形远小于同一个方向的构件尺寸。对于挠度 f，f<<h，我们允许杆件发生的变形都是微小的的，往往小一个数量级，如果对于 l，它就更小了。 这个变形一直存在，但是当变形足够小，我们可以忽略它，在数学处理上就是不严格区分弧微分 ds 与线微分 dx，所以如果要求一个固定坐标系下面 s 轴曲线最后的形状其实要比材料力学里面的内容更复杂一些。 下面涉及数学推导，如果对此不感兴趣的观众可以快进～ ————快进开始———— 还记得这张图吗？这是材料力学里面推导梁的弯曲正应力、弯曲变形时候常用的一张图。 ↑图 13 材料力学梁的弯曲分析微元示意图 这是一个最基本的公式 （打不出弧长符号包含两个字母，只好用估计符号代替～）从曲率定义出发，在不严格区分 dx 与 ds 的情况下可以这样改写，但是从高数课程知识来看，更常用的处理是以弦代弧 在 dy 很小的时候，所以 dx 代替 ds 精度不会差很多，虽然严格从概念上来说是不对的。但是这样做的好处是显而易见的，没有了根号，后面的推导更简单明了。想到这一点之后，就解决了第一个问题，计算方法哪里不够精确了。然后是第二个问题，目标是什么。刚才的目标是 『求出在重力作用下这张薄板的挠曲线，然后加工后让它具有这样的形状』 其实不对~虽然最后的结果是反拱，但是反拱曲线的描述不是『挠度』，而应该是『曲率』，『挠度』是『曲率』+『边界条件』。桌面的最终状态是水平状态，所以弯矩图还是上面画过的那样，但是如过用挠度描述曲线，就会遇到在变形过程中，如果两个支撑点最后碰在一起了怎么办这样一个问题，所以用『曲率』确定我需要的曲线更加合适 『让着这张薄板具有水平状态下弯矩图对应曲率相反的曲线，这样在重力作用下的弯矩带来的曲率就可以抵消初始变形的曲率成为一张平直的桌面』 上面就是新的目标 M(s)表示弯矩随中性轴弧长变化的函数 变形计算里面曲率近似继续采用，因为带上根号我更不会解了~我只是偷懒，当然，事实证明这样做精度是可以的。把所有和中和轴有关的函数都从 x 变成 s，在加入 s 的计算方程，最后的方程就会变成下面这样 这尼玛，又有微分又有积分，M(s)这个二次函数还没展开，瞬间不想算了。但是解析解不想算，不能算，还可以求助数值解法 ————快进结束———— 『我有一个好方法，感谢知乎给我地方让我写的下—— ——欧拉 才没有说过这句话』 用欧拉法可以解决这个方程的问题，因为我知道转角，每一点切线倾角函数θ(s)在采用平截面假定以及曲率公式近似之后是严格按照 M(s)推导出来的，所以避开了弧微分与线微分之争的问题。 然后我取了一半的板利用对称性来计算 ↑图 14 弯矩示意图 取右边半边计算，同时假设桌面上的物品每米范围内放置 1kg 质量 这样右半边的弯矩图方程是： 转角方程是 接着用欧拉法——把曲线划分成 N 段，然后每一段长度Δs，从第一点开始按照该点对应的 s 值计算的角度θ并按照角度θ延长Δ s，依次累计。 取初始值θ=0;x0=0;y0=0 拉 Excel 表格计算，把这 4000mm 分成 32000 段计算，每一段取中间点的转角作为这一段的转角。 ↑图 15 计算表格截图 表格里面每一项公式就是按照上面的输入的，做起来也很快，实际上，我只用了半个小时调整，就让表格做出了正确的结果。其中有个参数 q 调整了一下，一开始做出来的曲线不对，我想了一下应该加入活荷载，也就是桌子上放的瓶瓶罐罐，假设每平米放 1.5kg 的瓶瓶罐罐，曲线就是酱紫了～ ↑图 16 计算结果 相册里面截图显示的总长是 2192mm，下面交叉部分最宽 1742 我的结果是 2204 和 1770，很接近，很接近，做的很满意 ↑图 17 小西、石上计算结果 再回顾一下这张照片，我把它找到了。当然只是找到了，离做出来还有一段距离～以我对板材加工有限的了解来看，数控卷板机是可以做出来的，不过像图片那样用圆弧拼接拟合显然更容易制作。 ————以下是我的废话———— 标题叫做我的局限性，曲线算完了，该谈谈局限性了。 【1. 局限性之一——『忘了一段话』，把这段话写出来应该是这样的】 材料力学是讨论由均匀、连续、各向同性材料构成的杆件（主要是等直杆），并且在绝大多数场合只限于研究杆件受载后的变形为微小弹性变形的情况。 ——《材料力学》·孙训芳 这段话我肯定看过，但是我忘了我看过，所以，它成了我在思考的时候的局限，本来，它应该是我向外走出去的一个路口，我把它忘了所以就再也走不出去了。 在本科刚毕业的时候，刚刚结束考研和毕设的我，满脑子都是公式和数字，压根想不起自己还曾经看过这么一段话，所以当年的我一直纠结于自己是不是计算错了，当我用各种方法确认自己的挠度计算没有错的时候，我终于想起，自己要面对『大变形』问题了。这时候我需要跳出原来的架构了。事实上，当我为了写这篇文章我决定再翻一遍材料力学书，为自己的局限性 找到一个很正式的说法的时候，赫然看见这一段话，更让我觉得羞愧难当的是，就在这段话的上面，有这样一张图。 ↑图 18 《材料力学》（孙训芳）截图 不知道是自己太过驽钝，或者是我们的教学的通病？总是很容易忘记这样一段看似无关紧要，其实关键又关键的话。答案就在书里，更准确说是在绪论之中，有多少书，我是忘了绪论，或者压根没看过的呢？回头看看有时候发现，真的，绪论看起来什么都没讲，其实已经什么都讲到了，只是我没有领悟。 还是这张桌子，我想说说另一个领悟，如果同样是两端简支，均布荷载，简智板和简支梁有什么区别。在以前我都是觉得没区别的，但是这张桌子在考虑过程中我发现区别了。轴向变形算相对挠度是一个附加的效应，而另一个附加的效应来源于泊松比，轴向的压缩拉伸变形是会引起另两个方向的变化的啊， ↑图 19 杆模型示意图 对于如图所示这样一个杆，x 向的应力其实是会在 y、z 两向发生变形的，只是梁的高和宽相对于长太小了，所以这样的变化不慎明显。而这张桌子内的应力已经逼近铝材的屈服应力，加上宽度、铝材较低的弹模，z、y 两向变形其实很明显，所以横截面会由矩形变成梯形。 ↑图 20 板截面变形图 1 然后问题又来了，由于桌面很宽，而弯矩沿着 x 向是变化的，所以这种变形也是不均匀的，于是就产生了附加的应力，最终会导致桌面拱起来。 ↑图 21 板截面变形图 2 这一点，在石上纯也、小西泰孝参与的书《充满生机的技术》里面提到了。 以前的大师们写教材时候抠字眼是有原因哒，把材料力学的范围说的很准了～ 【2.局限性之二——重复造轮子，不好好学习理论知识】 这个方法是我在考上研究生之后的暑假里面自己慢慢发现的，后来我还发现自己纯属重新造轮子。 微分方程数值解法，其实已经有无数大牛先贤研究透了，我只要拿过来用就好了，然后我竟然从头开始搞了一遍，自己一开始还很得意。浑然不知利用又有的成果可以给自己事半功倍，全心全意重头造轮子，还造的不亦乐乎，呵呵哒～不过造轮子的过程让我发现，其实自己学的东西已经真的很有用，可以解决很多问题。 后来，当我学习了有限元，拿着其他软件也能算出差不多的结果的时候，我更加理解重复造轮子的含义了。当然，有时候哦不是一件坏事，因为重复造轮子的过程让我很深刻的理解了这张桌子，用有限元模拟的时候我才能找到正确的模拟条件。 其实我成长经历中这种事情没少做，我还记得高中时候，学习导数，第一堂课讲了概念，然后我在晚自习时候闲了无聊开始算 y=x^{3}、y=x^4 等等的导数，然后自己推出了了幂函数的导数公式 y'=nx^{n-1}。当时我无比激动地告诉同桌，同桌用看哈士奇的眼神看了我一眼，然后把我的数学书往后翻了一页，看着我用哈士奇的表情看着书上一堆公式。 【3.局限性之三——我是对的】 很多时候很多朋友都中过这个邪，其实，我是错的。而这一条往往又是最关键的一条，因为它，以上所有局限性才会成为障碍。很多时候局限性是『阶段性无法避免』的，你不能要求一个只会高数的学生做结构力学，但是知道自己存在局限性，能很好的避免危险的错误以及找到正确的方向。 ——————————————— 发自知乎专栏「搬砖日记」
