姜小白71，极度不友善 阅读原文 第一次看到这个问题是在matrix67的博客上，标题为“44 个精彩的物理趣题”。 这篇文章至今仍然能搜索到。看了解题思路后，觉得自己应该一辈子都想不出来这个解答。 题目如下： 考虑某颗星球，它由某种密度均匀的物质组成，其质量为 ，体积为 。 如果这颗星球是一个球体，那么它的半径 ，星球表面上的 重力加速度则为 ,其中 是万有引力常数。 考虑这颗星球所有可能的形状，怎样的形状才会让星球表面的某一点重力加速度达到最大？ 最大值是多少？ 下图就是让表面某处的重力加速度达到最大的星球形状。这个图形是一个稍微有些变形的球体，整个图形是一个以 方向为轴的旋转体，顶端的 点即是重力加速度最大的点，它的重力加速度为 ，只比球形星体的重力加速度大 。这是又一个经典的例子——圆形似乎并不是那么完美。 这个问题的解法非常漂亮。首先，假设我们想要让星体表面上的某个点 (图中 点) 的重力加速度最大，并且所受重力方向在 轴上，那么这个星体必然是沿 轴方向对称的。否则，取出不对称的一层，把多的部分填进少的部分让它变成一个完全对称的圆盘，这将会让 点在竖直方向上的受力变大。不断这样做直到这个图形沿 轴完全对称，显然就得到了一个更优的形状。 接下来的步骤就真的神了。现在，在星体上取一个非常细的圆环，假设它的质量是 。那么，这个圆环所贡献的重力加速度大小就是 。如果把这个圆环从星体中挖掉，放到其它的位置上，那么新的圆环将会有新的 值和 值。当整个形状达到最优时，这个形状将位于“极值点”的位置，也就是说它的“微分”为 ，任何微小的变动都不会改变 的加速度。这就意味着， 是一个常数。这个条件就确定出整个星体的形状。 自然这个问题也可以用变分法来求解。 容易分析，这个星球应该是旋转对称体。体积微元可表示为 任一体积微元对选取点的重力加速度的贡献为 那么这点的重力加速度可以写成积分形式 当然还要考虑它的质量约束条件。 定义 以及 考虑泛函 ， 为一常数。 那么根据欧拉 - 拉格朗日方程 可以解得 ， 为一正常数。 根据前述的质量条件，可以求出 那么重力加速度可以表示为 如果星球为球体的话，重力加速度为 两者之间相差 它的侧面轮廓是这个样子，怎么感觉像个馒头一样，难道馒头的烹制也蕴含着精妙的物理规律吗？ 阅读原文
