如何解释「有限」、「可数」、「不可数」与「无限」？ 匡世珉，INTP A set E is said to be finite provided either it is empty or there is a natural number n for which E is equipotent to {1, ..., n}. We say that E is countably infinite provided E is equipotent to the set N of natural numbers. A set that is either finite or countably infinite is said to be countable. A set that is not countable is called uncountable. 我想这段话就足够回答题主的问题啦。不过我想换一个有趣的角度解释一下~ 问个问题：纽约在美国的哪个州？ 不知道…… 不知道没关系，但我现在告诉你，美国总共有 50 个州，你来猜一猜吧！ 嗯好的，这样我顶多猜 50 次就能猜中正确答案了！ 要的就是这句话！我们来想一想，为什么猜 50 次就一定能猜中呢？因为美国总共只有 50 个州，所以答案只可能是 50 个州中的一个。（硬要说 49 次也行，不要在意这些细节……） 换句话说，『候选答案集合』里元素的个数是 50 个，是有限的。 当『候选答案集合』里元素的个数是有限的时候，你在猜之前就能知道最多需要才多少次。 对了，不用猜了，纽约在纽约州…… 当『候选答案集合』里元素的个数不是有限的时候会是什么样的情况呢？ 嗯，请听题：存在有多少种正多面体？ 我猜猜……一种……？ 不对！ 两种……？ 再想！ 三种……？ 还是不对！ 四种……？ 接近了！ 五种？？？ 哇你答对了你好厉害哦！ 好吧，客套话而已，没什么厉害的。你只是一个个地猜嘛╮(╯_╰)╭ 这回，候选答案可以是任何正整数，这就不是有限的了。可以看出，这回你没有办法提前知道最多要猜多少次。 只猜了五次是因为答案就是 5，如果要是问『Taylor Swift 有多少前男友』，你可能就要这么猜上好一会儿了……（不用猜了，这里有答案：Who is Taylor Swift dating?） 但是！注意！尽管你不知道需要猜多少次，但是你知道，照这么猜下去，一定在某个时候可以猜到答案！！ 这点很重要，我再说一遍：因为这题的答案只能是个正整数（啊因为 TS 至少也有一个前男友嘛），所以你把正整数从小到大一个个猜过去，总能猜到答案。 如果按照顺序猜下去，一定可以在某个时候猜到答案的话，我们就可以说，『候选答案集合』是可数无穷的。（有限的情况之前已经说过了，这里就忽略了。） 在这个例子里，正整数集就是可数无穷的。 『有限的』与『可数无穷的』合在一起称为『可数的』。 『猜答案』是一个判定集合是否可数的好方法！我们现在已经知道，正整数集是可数的，那么如果加上负整数呢？整数集是可数的吗？ 换句话说，如果我问你个问题，唯一确定的是这个问题的答案是整数，你有办法一定能把答案猜出来吗？ 这回『从小到大猜』的方法可就不管用了，因为根本就没有最小的整数呀！ 好吧，我们可以从中间向两边猜 / 按照绝对值从小到大的顺序来猜，即 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ……这样一来，只要答案是某个整数，那么一定可以猜到！ 所以，整数集也是可数的。 有理数集呢？可数吗？ 换句话说，如果我问你个问题，唯一确定的是这个问题的答案是有理数，你有办法一定能把答案猜出来吗？ 还是有办法的，我们可以按照最简分数的分子分母之和从小到大的顺序来猜，即： （图片来自 Wikipedia。红色的不是最简分数，猜的时候可以跳过，因为其最简形式已经被猜过，想想为什么。） 所以，有理数集是可数的。 好，那代数数是可数的么？ 是的，我们可以按照代数式字符数从小到大的顺序来猜，即： 三个字符： 四个字符： 五个字符： …… …… 如此猜下去，对于任何一个有理数，我们都会在某个时候猜到它。 所以，代数数集是可数的。 可计算数是可数的吗？可定义数是可数的吗？ 好吧这两个问题可能有点麻烦，因为我并没有说清楚什么叫『可计算数』和『可定义数』……我不打算在这里具体去解释这两个词啦，不过这两个问题的答案都是肯定的，因为我们可以分别按照算法和文字段落的长度从小到大的顺序来猜。 （M67 大神在图灵生日会上具体讲过『可计算数』，可以看顾森在图灵生日会上的演讲。） 连可定义数都是可数的，那还有什么东西是不可数的么？ 有！实数集不可数。 换句话说，如果我们只知道某个问题的答案是个实数，那么我们没有任何办法按照某种顺序把它猜出来。 （好吧其实不太严谨，因为这样一来这个数是『可定义的』，我最好说『某个不可知的问题的答案』——这不是定义，只是描述。） 怎么证明呢？注意，要想证明一个集合可数，我们只需要找出一种猜法就行了；但要想证明一个集合不可数，我们必须要证明不存在任何一种猜法！怎么办……？ 这个时候就要请出『第一个理解了无穷大的人』——乔治·康托尔（Georg Cantor）。 康托尔在 1891 年的这篇论文里很巧妙地证明了实数不可数。实际上，这种『对角论证法』说明 0 到 1 之间的实数已经不可数了。 康托尔用的是反证法：假设存在一种『猜法』，即把 0 到 1 之间所有实数不重复不遗漏地排列出来的方法，如下（截图自 Wikipedia）： 现在我们构造一个 0 到 1 之间的实数，其小数点后的第 n 位与 不同： 也就是说，这个数的小数点后第一位不是 5，第二位不是 1，第三位不是 4…… 这就意味着，这个数与列表中的每一个数都至少在小数点后第 n 位是不同的。再换句话说，这个数不在这个列表里！ 无论列表是什么样的，我们总能用这种方法构造出一个不在列表中的数，这就意味着，没有任何一个列表可以包含所有的 0 到 1 之间的实数。 所以，实数不可数。 可定义数是可数的，而实数是不可数的，这意味着什么……？没错……不可定义的实数远远多于可定义的实数——几乎所有的实数都是不可定义的。 等等，几乎所有的实数都是不可定义的？？？举个例子？？？ 不不不，根本就举不了例子，因为它们不可定义。引用 M67 大神在比根号 2 更“无理”的数这篇文章中说的话： 好在，虽然有那么多数是没有办法描述的，但数学家们也不会损失什么。每一个值得研究的数一定都有着优雅漂亮的性质，这些性质就已经让它成为了能够被定义出来的数。 嗯。 既然提到了康托尔，我就再多说几句。我在直线是由点组成的吗？那不是说无限个零相加大于零？这篇回答里提到了『测度』的概念。 所有的可数的集合都是零测集。如果在一个可测集内，不满足某个性质的元素构成的集合是零测集，我们就说此性质在这个可测集上『几乎处处』成立。 好吧我知道这个概念很复杂……我就是想安利一下康托尔函数嘛╭(╯^╰)╮ 康托尔函数是连续的，在其定义域[0, 1]上的导数几乎处处为零，然而 f(0)=0, f(1)=1！！！ 用通俗（但不严谨）的话来说，康托尔函数的图像是连续的，没有断开，而且图像上几乎每一个地方都是水平的，但是它神奇地却从 0 升高到了 1！！！ 想知道这是怎么回事吗？ 一切精彩，尽在测度论╮(╯▽╰)╭ 那么就这样=w= 查看知乎原文
