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如果存在一个使用九进制的文明,那么它们会在何时有奇数和偶数的概念?

本帖由 漂亮的石头2023-07-02 发布。版面名称:知乎日报

  1. 漂亮的石头

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    [​IMG]
    [​IMG] 曾加,海阔凭鱼跃,天高任鸟飞。

    先写结论:九进制对文明来说其实是非常不错的进制,虽然可能不如八进制、十六进制、十二进制,但和十进制可能半斤八两,如果按照九进制生活,文明的数学发展水平发展速度并不会和十进制有太大的差异,至于奇数和偶数的概念,更是很早能被发现的,不值一提。

    不妨我们身临其境一下,以下内容均为 九进制文明视角

    为了描述方便,在这个视角下,不存在「九 /9」这个称谓,所有「九」的称谓都被读作「十」,所以这个文明也自称使用「十进制」。而这个世界中的「百」、「千」、「万」即代表了人类十进制下的 81、729、6561……​

    【再次提示】:请务必忘记人类使用的十进制!

    1)算数1a)乘法口诀

    首先是这个文明中里耳熟能详的「八八乘法口诀表」:

    [​IMG]
    八八乘法口诀表

    据说小孩子们最喜欢的口诀是「六六四十」,听起来就很顺。

    为了提升孩子们的算术水平,学校组织学生们去参加了「四张扑克牌算 26 点」的活动,当然,算多少点还是有点争议,毕竟大家太熟悉 3 的倍数了,有老师建议「算 22 点」是更合适的,这能锻炼孩子们对 2 、5 的倍数的理解。

    24 点游戏里有哪些非常难算的题目?

    这个文明有一个著名的小说叫「东游记」,棠僧经历了八八七十一难才取到真经。

    1b)数的整除

    对于这个文明,3 和 6 是这个世界最耳熟能详的数字,毕竟这些数的倍数末尾都是 3、6、0。

    另外比较有名的说法是「卅数」「丗数」「川数」,这个说法比「奇数」、「偶数」更出名。

    「卅数」是指除以 3 余数为 1 的数,也即末尾为 1、4、7 的数;
    「丗数」是指除以 3 余数为 2 的数,也即末尾为 2、5、8 的数;
    「川数」是指能被 3 整除 的数,也即末尾为 3、6、0 的数;​

    早年的数学研究很多就是围绕着「卅数」和「丗数」展开的。

    当然,由于这个国家的性别依旧是 2 个,很快也诞生了「奇数」和「偶数」的概念:偶数是 2 的倍数,奇数不是 2 的倍数。

    怎么看一个数是奇数还是偶数呢?

    先说一个概念叫「奇数因子」:1、3、5、7。

    然后对于不小于两位的数,我们就看「奇数因子」有几个,如果有奇数个,那这个数就是奇数,比如 12、47333、656……反之就是偶数,比如 35、40、576、7281 ……

    小学数学老师会告诉你,有一个巧妙的方法,可以迅速判定一个数是否为 2、4、8 的倍数:看它们的数字和是否为 2、4、8 的倍数。在数学比较好的国度中,8 的倍数们:8、17、26、35、44、53、62、71 都是耳熟能详的。

    3 的倍数就不讲了。判断一个数是否是 6 的倍数的方法,就是先看末尾是不是 0/3/6,再看看是不是 2 的倍数。

    至于一个数是否为 5、11 的倍数,小学奥赛老师会告诉你:看这个数奇数位的和与偶数位的和之差是否为 5、11 的倍数。比如 5478,个位和百位的和 4+8=13;十位和千位的和 5+7=13,所以这个数是 5、11 的倍数。再比如 35634,奇数位之和 3+6+4 =14;偶数位之和 5+3=8,而 14-8=5,因此 35634 是 5 的倍数,但不是 11 的倍数。

    有哪些长得像质数的合数?

    至于一个数是否为 7,14,15 的倍数,一般是超纲内容。超微资深一些的老师会告诉你,有一个简便一些的判别方法,注意到 888 是 7,14,15 的倍数(888=8×7×14=4×14×15),可以将一个大数每 3 位一分割,然后求和,如果这个是 7,14 的倍数,原数也是 7,14 的倍数。

    举个例子:23456122,我们先算出:23+456+122= 612,612/7=78 是 7 的倍数,因此 23456122 是 7 的倍数。​

    1c)计算机数学

    后来诞生了计算机。这个文明对 3 更熟悉,因此一开始计算机是 3 进制的,毕竟 3 进制表示数据是非常高效的。但后来发现,3 状态的元器件造价太贵,2 状态的元器件要便宜得多,挣扎了十几年后,终于还是把计算机换成了二进制的。

    程序员们对 2 的幂次非常熟悉:2,4,8,17,35,71,152,314,628,1357……

    考虑到 2 的 10 次方是 628,所以每年的 6 月 28 日被认为是「程序员节」。

    人们发现 2 的 11 次方是 1357,一个这么偶数的数,居然每一位都是奇数,还是等差数列,太神奇了!

    人们还发现 2 的 21 次方为 878162,这个数和 1000000 仅仅差了 1.07%,非常接近。

    于是 1MB = 2^21 B = 878162 B

    2)数论2a)素数

    这个国家同样对数论感兴趣,他们比较熟悉 100 以下的 24 个素数:

    2、3、5、7、12、14、18、21、25;
    32、34、41、45、47、52、58、65、67;
    74、78、81、87。​

    100 以内最大的素数是 87。

    有意思的是:对于大于 3 的素数,卅数和丗数各有 11 个,很均衡。

    业余数学家费牛发现:

    • 2^2^0 + 1 = 3
    • 2^2^1 + 1 = 5
    • 2^2^2 + 1 = 18
    • 2^2^3 + 1 = 315
    • 2^2^4 + 1 = 108808

    都是素数。于是他猜想,2^2^n + 1 都是素数。

    但后来人们发现,2^2^5 + 1 = 12068657455 = 782 × 13542217,这个数不是素数!

    这个世界里还有一个很著名的数论入门题,它常常用来识别一个人有没有数论天赋:

    111111……(n 个 1) 是不是素数?

    没有数论天赋的人,可能绞劲脑汁很久都想不出来。但是著名天才数学家低斯,10 岁的时候就用巧妙的方法解决了。

    要不你也来试试?

    提示:分奇数和偶数讨论,在这个世界里 10=3×3。​

    2b)走马灯数

    在这个文明里,人们也会研究其他进制,发现在其他进制中,普遍存在「走马灯数」,也就是说,这个数的倍数会是这个数所有数字的重新组合,而且顺序也不变,只是起点和终点变了。

    比如:

    • 3 进制下的 0121,它的倍数为 1012,1210,2101;
    • 5 进制下的 032412,它的倍数为:120324,203241,241203,324120,412032;
    • 6 进制下的 0313452421,它的倍数为 1031345242,1345242103,2103134524,2421031345,3134524210,34524210313,4210313452,4524210313,5242103134;
    • 7 进制下的 1254,它的倍数为:2541,4125,5412;
    • 8 进制下的 1463,它的倍数为:3146,4631,6314;
    • 11 进制下的 142857,它的倍数为:285714,428571,571428,714285,857142;
    • 12 进制下的 0A3425B17685(注意:10=A,11=B);
    • 13 进制下的 24A7,它的倍数为 4A72,724A,A742……

    但唯独 10 进制,似乎没有这样的「走马灯数」。

    后来数学家们发现,因为 10=3×3 是平方数,通过原根的相关知识我们可以证明,在平方数进制下,是不存在走马灯数的,真可惜!

    “走马灯数” 142857 与 初等数论入门

    2c)黑洞数

    在这个文明里,虽然没有人们耳熟能详的「走马灯数」,却有另一个耳熟能详的数,它是 62853。这个数被成为「黑洞数」。

    黑洞数又称陷阱数,是类具有奇特转换特性的整数。任何一个数字不全相同整数,经有限“重排求差”操作,总会得某一个或一些数,这些数即为黑洞数。

    比如 31467,将其重新排序后最大的数是 76431 ,最小的数是 13467 ,相减以后得到 62853;

    然后继续以上操作:86532 - 23568 = 62853

    咦,居然没有发生变化?

    这就是黑洞数。

    事实上,已经证明,1~4 位数都不存在「黑洞数」,只能跌入循环,于是 62853 是最小的黑洞数。而且,并不是所有的 5 位数都能跌入「黑洞数」的(只有 5210 种初始值可能会跌入这个循环,占 5.8%),更大的可能是,跌入一个「大循环」(除了 11111 的倍数外,其余情况均是如此):

    74832 -> 63843 -> 52854 -> 60873 -> 83841 -> 74832:​

    因此「黑洞数」 62853 显得弥足珍贵,很多人都把它设置成密码。

    代码参见附录

    3)小数3a)小数的性质

    在该文明的「知也」上,数学区会有一个月经问题:0.8888888…… 是否等于 1 ?

    有一个高赞回答是:注意到 1/2 = 0.4444444……,因此 1/2 × 2 = 0.888888…… 所以 0.888888…… 等于 1 。

    也对,这个文明的小数发展的更早,毕竟 1/2 = 0.444444……,所以人们很早就发现了「循环小数」。

    • 1/2=0.44444444……
    • 1/3=0.3
    • 1/4=0.2222222……
    • 1/5=0.1717171717……
    • 1/6=0.1444444……
    • 1/7=0.125125125……
    • 1/8=0.111111111……

    在进行 10 以下的等分时,循环节最多 3 位,也比较容易记忆,数学老师会要求背诵下来。

    3b)圆周率

    关于「圆周率」,一开始,人们认为圆周率大概比 3.12 稍微大一点。

    巍国数学家刘辉在自己的《八章算数》里仔细研究了下,认为圆周率等于 3.1242,这个数大概是能被整除的。

    后来锦国的科学家孙退乎利用「割圆术」,发现刘辉的结果不太精确。他算出圆周率在 3.1241881~3.1241882 之间。

    并且给出了两个近似值:

    • 一个叫做「约率」:24/7 ≈ 3.125125,
    • 一个叫做「密率」:434/135 ≈ 3.12418824,前 6 位都是正确的。

    人们发现,圆周率小数点后前 7 位的每一位都是 2 的幂次,人们认为这应该不是巧合。因此认为圆周率后的每一位可能都是 2 的幂次。

    直到一千年后,数学大发展,计算圆周率的方式也被进一步优化了,人们发现圆周率后第 12 位是 7,推翻了这一猜想。

    现在人们知道,圆周率大约是 3.124188124074427883……

    3c)其他常数

    后来,科学家发明了对数。定义如果以 10 为底的对数为 lg

    于是 lg2≈0.275, lg3=1/2≈0.444,lg5≈0.653

    后来马顿发明了微积分,但与此同时祛拳尼兹也独立发现了微积分,两个人大吵一架,不欢而散。

    不过这不重要,重要的是,大家发现 e ≈ 2.641557364 这个数似乎也是一个超越数。

    注:以上只是该文明的内容提纲,后续内容可以参见专栏系列文章:

    曾加:九进制文明 - 序言 & 设定


    附录:「黑洞数」计算代码(好久没用 python,复习一下):

    # Calulate the Blackhole Number in Base n # Author: PlusZeng # Date: created: 2022/12/4, modified: 2022/12/19importmathdeflist2chr(a,n):tmp=''ifn<=10:foriina:tmp+=str(i)ifn>10:foriina:ifi<10:tmp+=str(i)elifi<36:tmp+=chr(i+55)elifi<62:tmp+=chr(i+61)else:tmp+='('+str(i)+')'returntmpdefroot_10_to_n(x,n,x_digit):result=[];p=n**(x_digit-1);while(p>=1):result.append(math.floor(x/p))x%=p;p/=n;returnresultdefminus_hole(x,root_n,x_digit):y_min=sorted(x);a_max=0;a_min=0;foriinrange(0,x_digit):a_min+=int(y_min)*root_n**(x_digit-i-1)a_max+=int(y_min)*root_n**ireturnroot_10_to_n(a_max-a_min,root_n,x_digit)defcal_hole_in_base_n(x_digit,n):cirDict={};foriinrange(n**(x_digit-1),n**x_digit):numList=[];numList.append(root_10_to_n(i,n,x_digit));tmp=0;is_circle=0;while(is_circle==0):numList.append(minus_hole(numList[tmp],n,x_digit))tmp+=1forjinrange(tmp-1,-1,-1):ifnumList[tmp]==numList[j]:is_circle=1breakcirList=list2chr(numList[j],n)forkinrange(j+1,tmp):cirList+='->'+list2chr(numList[k],n)ifcirDict.get(cirList)isNone:cirDict[cirList]=[list2chr(numList[0],n)]else:cirDict[cirList].append(list2chr(numList[0],n))foriincirDict.keys():print(i+' : '+str(len(cirDict))+';')if__name__=='__main__':print('Input the base: ')n=int(input())print('Input the max digits: ')x_digit=int(input())foriinrange(1,x_digit+1):print('\n'+str(i)+' digits')cal_hole_in_base_n(i,n)print('Done!')
     
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